Rozważmy następującą krzywą zamkniętą Г, kawałkami gładką, podzieloną na cztery krzywe gładkie w następujący sposób:
Wygląda ona mniej więcej tak:
Jak łatwo zauważyć, krzywa gamma jest zorientowana dodatnio. Możemy policzyć pole które zakreśla za pomocą całki krzywoliniowej zorientowanej:
Dochodzimy do następującego wniosku: pole serca wynosi 3π. Czy dzięki temu zrozumiemy to, co ludzie nazywają “miłością”?
W ramach nauki do przyszłego kolokwium z algebry abstrakcyjnej sporządziłem notatki w formie spisanych definicji i twierdzeń ładnie sformatowanych w LaTeXu. Pominąłem grupy permutacji i elementy teorii liczb, nie umieściłem tam dowodów ani przykładów. Mam nadzieję, że komuś jeszcze to się przyda.
Zaciekawiła mnie ogromnie Spirala Ulama. Postanowiłem napisać program, który generuje taką spiralę do pliku BMP. Oto wynik:
Wygenerowałem również duży obrazek o rozdzielczości 1201×1201. Regularności, które widać w tym obrazku są wręcz fascynujące.
Oczywiście nie byłbym sobą, gdybym nie “pobawił się” algorytmem generującym ten obrazek. Dokonałem drobnej modyfikacji i zauważyłem niezwykle ciekawą rzecz! Różnice pomiędzy Spiralą Ulama a moją własną spiralą opisuje dobrze poniższy diagram:
Spirala Ulama: 37-36-35-34-33-32-31 | | 38 17-16-15-14-13 30 | | | | 39 18 5--4--3 12 29 | | | | | | 40 19 6 1--2 11 28 | | | | | 41 20 7--8--9-10 27 | | | 42 21-22-23-24-25-26 | 43-44-45-46-47-48-49 Moja spirala: 39-38-37-36-35-34-33 | | 40 18-17-16-15-14 32 | | | | 41 19 5--4--3 13 31 | | | | | | 42 20 6 1--2 12 30 | | | | | 43 21 7==9-10-11 29 | | | 44 22=24-25-26-27-28 | 45=47-48-49-50-51-52
Po prostu po przejściu przez lewy dolny róg w każdej spirali dodatkowo inkrementuję licznik. Oczywiście liczby pierwsze zaznaczam czarnymi pikselami. Teraz regularności w rozkładzie liczb pierwszych wydają się być jeszcze bardziej regularne. ;) Oto wynik pracy programu, rysującego moją własną spiralę:
Wygenerowałem również duży obrazek o rozdzielczości 1201×1201. Regularności, są jeszcze bardziej fascynujące.
Równie ciekawą rzecz dostrzegamy, gdy w spirali Ulama umieścimy jedynie liczby nieparzyste:
Wygenerowałem również duży obrazek o rozdzielczości 1201×1201. Prawda, że fascynujące?
Ciekawe tylko, czy to może się do czegoś przydać… ;)
